Séminaire d'algèbre et de géométrie du 30-05-2023

Exposé de Jean-Luc Chabert

Anneaux de polynômes à valeurs entières et anneaux de Prüfer

Résumé

Le premier anneau de polynômes à valeurs entières est l’anneau

    Int(Z) = {f(X) ∈ Q[X] | f(Z) ⊆ Z}.

C’est un anneau de Prüfer de dimension 2 qui possède de nombreuses propriétés. La notion est naturellement étendue aux anneaux d’entiers de corps de nombres ou de fonctions. Mais, plus généralement, pour tout anneau intègre D de corps des fractions K et toute partie E de K, on peut considérer l’anneau :

    Int(E,D) = {f(X) ∈ K[X] | f(E) ⊆ D}.

On montrera comment on peut caractériser les cas où de tels anneaux sont de Prüfer.